“Don’t worry, you’re not late. You’re right on time! I was just a little early.”　「大丈夫よ、遅刻じゃないから。時間通りよ！私のほうがちょっと早かっただけ。」

On timeとは予定通りの時間です。遅くも早くもありません。

If you are “on time”, you arrive at the time that was planned.

“Sorry I’m late! Am I in time to see the trailers?”　「遅れてごめん！予告編まだ？」
“Yes, you only missed the ads.”　「大丈夫よ、まだCMしか見逃してない。」

On timeより遅くてもin timeはありえます。例えば、待ち合わせには遅れたが、電車はまだ出発していませんからin time for the trainです。または、学校の演劇の始まりは見逃したが、まだ自分の子供の出番ではない。

You can be too late to be “on time” but still arrive “in time” for something. For example you’re late to meet your friend, but the train hasn’t left yet. Or you missed the beginning of your child’s school play but not the scene that your child is in.

早すぎた場合on timeとは言えませんがin timeは余裕で言えます。

Also, if you are very early, you’re not “on time” but you are definitely “in time”.